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# Les Matrices
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On considére un system:
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\\[
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\begin{cases}
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x - 2y + 3z = 4 \\\\
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2x + y - 4z = 3 \\\\
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-3x + 5y -z = 0
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\end{cases}
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\\]
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Un système est caractérisé par ses cohéfficients et par les thermes indépendants.
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Les nombres sont placés à des positions bien précises.
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On peut représenter ces nombres dans un tableau
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\\[
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\begin{pmatrix}
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1 &-2 &3 &4 \\\\
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2 &1 &-4 &3 \\\\
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-3 &5 &-1 &0
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\end{pmatrix}
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\text{ On dit que M est une matrice de taille } 3 * 4
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\\]
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Une matrice de taille \\( m * n \quad (m,n \in \mathbb{N}_ 0 ) \\) est un tableau
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dont les éléments sont rangés selon m lignes et n colonnes
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\\[
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A = \begin{pmatrix}
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a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\\\
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a_{21} &a_{22} &\cdots &\vdots \\\\
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\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\
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a_{m1} &\cdots &\cdots &a_{mn}
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\end{pmatrix}
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a_{23} \text{ est situé 2e ligne, 3e colonne } \\\\
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A = (a_{ij} a_{ij} \text{ est un terme de } A)
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\\]
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## Operations sur les matrices
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### Egalitée
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\\( A = B \iff A \text{ et } B \\) ont la même taille et \\( a_{ij} = b_{ij} \quad \forall i,j \\)
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### Transposition
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\\( A^t \\) est la matrice dont les lignes et les colonnes de \\( A \\) sont inversée
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#### Exemple
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\\[
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A = \begin{pmatrix}
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1 &2 \\\\
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3 &4
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\end{pmatrix}
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A^t = \begin{pmatrix}
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1 &3 \\\\
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2 &4
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\end{pmatrix}
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\\]
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### Produit par un scalaire
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- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{m * n} \quad k \in \mathbb{R} \\)
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- La matrice \\( k * a \\) est une matrice \\( B \\) de taille \\( m * n \\) tel que
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- \\( b_{ij} ka_{ij} \quad \forall i,j \\)
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#### Exemple
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\\[
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2\begin{pmatrix}
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1 &2 &3\\\\
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4 &5 &6
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\end{pmatrix}
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= \begin{pmatrix}
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2 &4 &6\\\\
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8 &10 &12
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\end{pmatrix}
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\\]
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### Produit de 2 matrices
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\\[
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A * B = C \quad
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\begin{align}
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c_{ij} &= a_{ij} * b_{ij} + ... a_{in} * b_{nj} \\\\
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&= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik} * b_{kj}
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\end{align}
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\\]
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#### Exemple
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\\[
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\begin{pmatrix}
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2 &1 &-1 \\\\
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3 &0 &2
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\end{pmatrix} *
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\begin{pmatrix}
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1 \\\\
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-2 \\\\
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2
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\end{pmatrix} =
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\begin{pmatrix}
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2 - 2 - 2 \\\\
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3 + 0 + 4
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\end{pmatrix} =
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\begin{pmatrix}
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|
-2 \\\\
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7
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\end{pmatrix}
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\\]
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## Résoudre des système d'équation
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### Via l'échelonnement des matrices
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1) \\( [A | B] \\) (A augmenté de B)
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2) Echeloner notre matrice ( Grace aux transformations elementaires ci-dessous )
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- \\( L_i \leftrightarrow L_j\\) (Echange de lignes)
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- \\( L_i \gets \alpha L_i \quad \alpha \in \mathbb{R} \\)
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- \\( L_i \gets L_i + L_j \\)
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3) Revenir au système et trouver S
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### Via le calcul de déterminants
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Un déterminant est un réel calculé sur une matrice carrée
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#### La méthode de Sarros
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Cette méthode ne fonctionne que pour les matrices 2x2 et 3x3
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##### 2x2
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- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{2 * 2} \\)
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\\[
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\det A =
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\begin{vmatrix}
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a_{11} &a_{12} \\\\
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a_{21} &a_{22}
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\end{vmatrix}
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= (a_{11} * a_{22}) - (a_{12} * a_{21})
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\\]
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##### 3x3
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- Soit \\( B \in \mathbb{R}^{3 * 3} \\)
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\\[
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\det B =
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\begin{vmatrix}
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b_{11} &b_{12} &b_{13} \\\\
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b_{21} &b_{22} &b_{23} \\\\
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b_{31} &b_{32} &b_{33} \\\\
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\end{vmatrix}
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= (b_{11} * b_{22} * b_{33}) + (b_{12} * b_{23} * b_{31}) + (b_{13} * b_{21} * b_{32}) - (b_{13} * b_{22} * b_{31}) - (b_{12} * b_{21} * b_{33}) - (b_{11} * b_{23} * b_{32})
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\\]
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### La méthode des cofacteurs
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Utilisé pour les matrices + grandes ou égales à 3x3
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- **Un Mineur** de l'élément \\( a_{ij} \\) est le déterminant de la matrice \\( Aij \\)
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- C'est à dire la matrice \\( A \\) où on a supprimé la ligne i et la conlonne j
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- On la note \\( M_{ij} \\)
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- Le **Cofacteur** de la position ij est le nombre \\( (-1)^{i+j} * M_{ij} \\)
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- On le note \\( C_{ij} \\)
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On choisit ensuite une ligne a déveloper, au plus il y a de zeros au mieux c'est
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- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{n * n} \\)
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- Si on développe la ie Ligne
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- \\( \forall 1 \leq i \leq n \quad \det A = \displaystyle\sum_{j=n}^n a_{ij} * C_{ij} \\)
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