graph

src/SUMMARY.md

@@ -57,12 +57,18 @@
 
 # Bac3 
 
-- [Graph. et Opti.]()
-    - [définitions](./bac3/GraphOpti/Definitions.md)
+---
+
+- [Graph]()
+    - [Définitions](./bac3/GraphOpti/Definitions.md)
     - [Représentation](./bac3/GraphOpti/rpz.md)
     - [Complexité](./bac3/GraphOpti/complexite.md)
     - [Algos](./bac3/GraphOpti/Algos.md)
 
+- [Opti combinatoire]()
+    - [Définition](./bac3/GraphOpti/OptiCombi.md)
+---
+
 - [Statistiques]()
     - [Introduction](./bac3/Stats/Introduction.md)
     - [Statistique déscriptive](./bac3/Stats/StatDesc.md)

src/bac3/GraphOpti/Algos.md

@@ -49,5 +49,27 @@ si ça n'est pas possible, le graph n'est pas bi-partie. L'exploration est en la
 
 ## Arbre recouvrant de poids minimal
 
+Si G n'est pas convexe, on peut calculer le poids minimal
+
 L'objectif est de trouver une arborescence couvrante de G dont la somme des poids des arcs soit
 minimale
+
+**Propriétée**: En partitionant le graph en deux, il y aura toujours une arrete joignant les deux
+partitions qui sera minimale
+
+- **Algo de prism**: 
+    1) Arbre à un seul sommet
+    2) à chaques itération, ajouter la node la plus proche (en poids)
+
+- **Algo de kruskal**
+    1) Foret de sommets isolé
+    2) à chaques itérations, ajout la plus petite arête sans cycle
+    3) Stop quand arbre couvrant
+    - Contrairement à Prism, trouve direct une foret couvrante minimal si non connexe
+    - structure **Union-Find**
+        - *Find(x)* trouve le numéro de la classe de x
+        - *Union(u,v)* fusionne deux classes de numéros u et v
+        - Création d'un liste next:
+            - full 0
+            - poids minimum (x,y) placer x en y
+            - si x et y dans même classe alors union

src/bac3/GraphOpti/OptiCombi.md

@@ -0,0 +1,74 @@
+# Optimisation Combinatoire
+
+## Définition
+
+- **Problème d'optimisation combinatoire**:
+    - **ensemble fini** de solutions admissibles \\( \Omega \\),
+    - **fonction objectif** \\( f: \Omega \to \mathbb{R} \\) 
+    - but: trouver \\( x^* \\) minimisant f 
+    \\[ x^* = \arg\min\\{ f(x) \vert x \in \Omega\\} = \arg\min_{x\in\Omega} f(x)\\]
+
+## Problème d'affectation
+
+affecter n ressources à n activités à un cout total minimum (Assignment Problem)
+
+\\[
+    AP\left\\{ \begin{align}
+        \min &\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n c_{ij} x_{ij} \\\\
+             &\sum_{i=1}^n x_{ij} = 1 \quad j = 1,..., n \\\\
+             &\sum_{j=1}^n x_{ij} = 1 \quad i = 1,..., n \\\\
+             & x_{ij} \in \\{0, 1\\} \quad i = 1, ..., n \quad j = 1, ..., n 
+     \end{align} \right.
+\\]
+
+### Variante
+
+affecter n ressources à n activité en minimsant le cout maximum de chaque ressource (min-max /
+bottleneck)
+
+\\[
+    \left\\{\begin{align}
+        \min & C_{max} \\\\
+        &\sum_{i=1}^n x_{ij} = 1 \quad j = 1,..., n \\\\
+        &\sum_{j=1}^n x_{ij} = 1 \quad i = 1,..., n \\\\
+        &\sum_{j=1}^n c_{max} \quad i = 1, ..., n \\\\
+        &x_{ij} \in {0, 1} \quad i = 1, ..., n \quad j = 1, ..., n \\\\
+        &C_{max} \ge 0
+    \end{align}\right.
+\\]
+
+## Problème de transport
+
+Consommation <-> Production en minimisant le cout total de transport ( Transport Problem )
+
+\\[
+\left\\{\begin{align}
+    \min &\sum_{i=1}^r \sum_{i=1}^s c_{ij}x_{ij} \\\\
+    &\sum_{j=1}^s x_{ij} = q_i \quad i = 1, ..., r \\\\
+    &\sum_{i=1}^r x_{ij} = d_j \quad j = 1, ..., s \\\\
+    &x_{ij} \ge 0 \quad i=1,..., r \quad j=1,...,s 
+\end{align}
+\right.
+\\]
+en supposant que la production est égale à la consomation
+\\[
+    \sum_{j = 1}^s d_j = \sum_{i=1}^r q_i
+\\]
+
+### Problème du voyageur de commerce (TSP)
+
+faire un circuit passant une seule fois par n villes de cout minimum
+
+\\[
+\left\\{\begin{align}
+    \min &\sum_{i=1}^n \sum_{i=1}^n c_{ij}x_{ij} \\\\
+    &\sum_{j=1}^n x_{ij} = q_i \quad i = 1, ..., n \\\\
+    &\sum_{i=1}^n x_{ij} = d_j \quad j = 1, ..., n \\\\
+    &\sum_{i \in Q}\sum_{j \in \overline{Q}} x_{ij} \ge 1 \quad Q\subset \\{1,...,n\\} \quad \overline{Q} =
+    \\{1, ..., n\\} \backslash Q \\\\
+    &x_{ij} \in \\{0, 1\\} \quad i=1,..., n \quad j=1,...,n 
+\end{align}
+\right.
+\\]
+
+C'est en fait un problème d'affectation relaxé

src/bac3/GraphOpti/Opti_Init.md

@@ -0,0 +1 @@
+# init