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@@ -24,6 +24,32 @@
     - [Limites de fonctions](./math/calculus/chap2.md)
     - [Dérivabilité des fonctions](./math/calculus/chap3.md)
     - [Développement de Taylor](./math/calculus/chap4.md)
+- [Algèbre Linéaire](./math/all/index.md)
+    - [Les Espaces Vectoriels](./math/all/chap1.md)
+    - [Application Linéaire](./math/all/chap2.md)
+    - [Valeur/Vecteur/Espaces propres](./math/all/vpropres.md)
+    - [Les Matrices](./math/all/matrix.md)
+- [Math Discrète](./math/disc/index.md)
+    - [Initiation à la théorie des graphe](./math/disc/graph.md)
+    - [Nombres Premiers](./math/disc/prime.md)
+    - [Les Relations](./math/disc/relations.md)
+    - [Preuve par Induction](./math/disc/induction.md)
 # Physique générale I
 - [Mecanique](./phys/meca/index.md)
 	- [Chapitre 1](./phys/meca/chap1.md)
+- [Electromagnétisme](./phys/elec/index.md)
+    - [Les Forces Electriques](./phys/elec/chap1.md)
+# Informatique
+- [Algo1](./info/algo1/index.md)
+- [Algo2](./info/algo2/index.md)
+- [fonctionnement des ordinateurs](./info/fdo/index.md)
+    - [Intro](./info/fdo/chap1.md)
+    - [Representation des donnees](./info/fdo/chap2.md)
+    - [Conception logique](./info/fdo/chap3.md)
+    - [Processeur mono-cycles](./info/fdo/chap4.md)
+    - [Assemblage et Compilation](./info/fdo/chap5.md)
+    - [Entrees et sorties](./info/fdo/chap6.md)
+    - [Hierarchie des memoires](./info/fdo/chap7.md)
+# Economie
+- [Chapitre 1 - Introduction à l'économie](./eco/chap1.md)
+- [Chapitre 2 - Comprendre le fonctionnement des marchés](./eco/chap2.md)

src/eco/chap1.md

@@ -0,0 +1,51 @@
+# Introduction à l'économie
+
+> Cette partie ne sert pas car n'est pas dans l'examen pour les infos
+
+
+## Scope
+
+- Quelle quantité produire, a quel prix, comment, facteur de production, d'emploi pour les entreprises
+- Consomation, rôles des différents facteurs (prix, pub, ...) peuvent jouer?
+- Comprendre comment concilier consommation et production.
+
+### Raretée
+
+La raretée dépend de l'écart entre ce que veulent les gens et ce qui peut être produit
+
+- Désir de consomation illimité mais resources limitées
+- 3 facteurs de productions
+    - Travail (limite quantitative et qualitative)
+    - Capital (limite quantitative et qualitative)
+    - Resources
+
+Nous étudions alors comment consommateurs et producteur
+
+## Branches d'études
+
+### La macroéconomie
+
+étude de l'économie comme un tout (PIB, Inflation, Chômage).
+Utilisation optimale des resources comme le chômage, ...
+Dans une optique de croissance durable de l'ensemble de la production
+
+- DG > OG => risque d'inflation, déficit éxtérieurs
+- DG < OG => risque de récéssion, chomage
+
+Le but de la macroéconomie est d'assurer OG = DG via politiques de demande et d'offre
+et une armonie dans la croissance d'OG et DG
+
+### La microéconomie
+
+Etudie l'offre et la demande de biens spécifiques
+
+Répond à 3 questions:
+- Que produire, en quelle quantités?
+- comment produire. Techniques, resources, ...
+- pour qui produire, comment distribuer?
+
+les choix impliquent des sacrificess. la production d'un bien entraine le sacrifice d'au moins un autre.
+Ces choix doivent être rationnels. La comparaison entre cout mariginal (Cm) et bénéfices marginal (Bm).
+- Bm > Cm => intensification de l'activitée
+- Bm < Cm => réduction de l'activitée
+

src/eco/chap2.md

@@ -0,0 +1,77 @@
+# Comprendre le fonctionnement des marchés
+
+## La demande
+
+Quantitée demandée qu'un consommateur souhaite acheter pour un prix donné
+- Toutes choses égales par ailleurs (tecepa)
+- à un moment donné
+
+Demande de marchés = \\( \sum \\) demandes individuelles 
+
+### Loi de la demande
+
+Si le prix augmente, la quantitée demandée diminue:
+- l'éffet revenu: Prix augmente => pouvoir d'achat diminue => Qd augmente/diminue en fct du type de bien
+- l'effet substitution: Prix augmente => Qd diminue et Qd d'autres biens augmente 
+
+### Courbe de demande
+
+représente graphiquement la demande.
+
+x => Quantitée; y => Prix (même si la quantitée dépend du prix); courbe à pente négative
+
+\\[
+    Qd = f(P, ...) \\\\
+    Qd = a - b * P
+\\]
+ 
+où ... = gouts, prix et nombre de biens substituts, ...
+
+où a est l'intercept et -b la pente (= dQd/dP)
+
+Lorsque le prix du bien change, la quantitée demandée change en se déplaçant sur la courbe
+
+Si une autre variable (tecepa/...) change, alors la courbe se déplace.
+- vers la droite si la Qd augmente
+- vers la gauche si la Qd diminue 
+
+## L'offre
+
+Quantitée offerte qu'un producteur souhaite acheter pour un prix donné
+- Toutes choses égales par ailleurs (tecepa)
+- à un moment donné
+
+Offre de marchés = \\( \sum \\) offres individuelles 
+
+### Loi de l'offre 
+
+Si le prix augmente, la quantitée offerte augmente:
+
+### Courbe de demande
+
+représente graphiquement l'offre
+
+x => Quantitée; y => Prix (même si la quantitée dépend du prix); courbe à pente positive 
+
+\\[
+    Qo = f(P, ...) \\\\
+    Qo = c + d * P
+\\]
+ 
+où ... = couts de prod, profitabilité, chocs aléatoires, anticipations, ...
+
+où c est l'intercept et d la pente (= dQo/dP)
+
+Lorsque le prix du bien change, la quantitée offerte change en se déplaçant sur la courbe
+
+Si une autre variable (tecepa/...) change, alors la courbe se déplace.
+- vers la droite si la Qo augmente
+- vers la gauche si la Qo diminue 
+
+## Le prix et quantitée échangée à l'équilibre
+
+- Qd > Qo, (Pénurie) => Prix augmente => Qd diminue et Qo augmente
+- Qd < Qo, (Surplus) => Prix diminue => Qd augmente et Qo diminue
+- Qd = Qo, (Equilibre) => aucune pression sur P
+
+L'équilibre d'un marché est attein par régulation des prix par les lois d'offre et de demande

src/info/algo1/index.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Algo1

src/info/algo2/index.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Algo2

src/info/fdo/chap1.md

@@ -0,0 +1,68 @@
+# Intro
+
+## Modele d'un Ordinateur
+
+Nous trouvons des processeurs partout. sur ceux-ci nous pouvons faire tourner un grand nombre d'application
+petit ou grand. Ils sont tres polyvalant
+
+Plusieurs categories de processeurs
+- Generalistes
+    - polyvalents
+        - traitement de texte, tableur, ...
+- Serveurs
+    - Specialises, partages
+        - Bdd, streaming, hc
+- Systemes embarques
+    - tres specialises
+        - concus pour une application unique ex: machine a laver, telecommande
+
+Une grande partie des processeurs sont des systems emabarques, Les processeur d'ordinateurs ou de serveurs sont une minoritee
+
+Un oridnateur contient:
+- Processeur
+- Memoire
+- Horloge
+- I/O
+
+## Excution des instructions
+
+Dans un processeur, nous avons des registres, ces registres sont une sorte de memoire des processeur transferee depuis la memoire
+
+Le processeur execute une suite de tache en boucle
+1) lire l'instruction
+2) evaluer l'instruction
+3) executer l'instruction
+4) passer a l'instruction suivante
+
+Le processeur utilise de la memoire, au plus la memoire est loins, au plus le temps d'execution est faible
+
+## Interface Logiciel / Materiel
+
+Les processeurs ont differentes architectures:
+- x86
+- arm
+- mips (avec laquel nous travaillerons)
+- risc-v
+
+Suivant l'architecture, nous avons un "jeu d'instruction" differentes
+
+### Abstraction Materiel
+- Comment simplifier la conception de programmes
+- Comment en augmenter la portabilite
+- Cacher les details materiels du systeme
+- deleguer la gestion des ressources du systeme
+
+Nous avons des languages de haut-niveau et des language de bas niveau
+- Language de bas de niveau
+    - language machine, assembleur
+- Language de Haut niveau
+    - Plus comprehensible par l'humain
+
+le haut-niveau est compile en assembleur et ensuite est assembler en binaire (1/0) qui sont des courant electriques physiques
+
+## Densitee des composants
+
+Les composants des ordinateurs sont de plus en plus petits suivant la loie de moore
+
+Une plus grande frequence des processeur implique une qugmentation du courant necessaire et de la surchaufe ( donc duree de vie ) 
+Les processeurs vont maintenant moduler leurs frequences en fonction de la charge de travaille

src/info/fdo/chap2.md

@@ -0,0 +1,26 @@
+# Representation des donnees
+
+## Notation des Nombres
+
+### Representation decimale
+
+Un nombre naturel x est represente par un mot w compose de N chiffres \\( w _ i \\) pris dans \\(S_{10}\\)
+
+Poids des chiffres: Chaques chiffre d'un mot w est associe a un poids en fonction de sa position
+
+Nombres de possibilitee
+
+pour un mot de N chiffres, nous avons donc 10^N nombre possibles
+
+L'interval de chiffres possibles est de \\([0, 10^N -1]\\)
+
+Pour trouver la taille d'un mot, on a \\(N \geq \lceil log10(x+1)\rceil\\)
+
+## Representation positionnelle generalisee
+
+TODO: Generalisation
+
+representation binaire a partira de generalisation
+
+
+## Nombres dans un Ordinateur

src/info/fdo/chap3.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Conception logique

src/info/fdo/chap4.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Processeur mono-cycles

src/info/fdo/chap5.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Assemblage et Compilation

src/info/fdo/chap6.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Entrees et sorties

src/info/fdo/chap7.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Hierarchie des memoires

src/info/fdo/index.md

@@ -0,0 +1 @@
+# fonctionnement des ordinateurs

src/math/all/chap1.md

@@ -0,0 +1,89 @@
+# Les Espaces Vectoriels
+
+## Etudions \\( R^2 \\)
+
+- \\(R^2\\) est un ensemble tq \\( \\{ (a,b)  \vert a \in \mathbb{R} \land b \in \mathbb{R} \\} \\)
+
+## Sous-Espaces Vectoriels
+
+- Soit \\(V \subseteq \mathbb{R} ^n\\)
+    - On dit que V est un **Sous-Ensemble Vectoriel** de \\(\mathbb{R}^n\\) ssi
+        1) \\(V \neq \emptyset \\)
+        2) \\(\forall v_1 \in V \quad \forall v_2 \in V \quad v_1 + v_2 \in V \\)
+        3) \\(\forall \lambda \in \mathbb{R} \quad \forall v \in V \quad \lambda v \in V \\)
+
+On peut voir par example que pour \\(\mathbb{R}^3\\) nous avons comme sous-ensemble vectoriel (SEV):
+- \\(\\{(0,0)\\}\\) (L'origine du plan)
+- \\(\\{\lambda \in \mathbb{R} \vert \lambda(x, y)\\}\\) (une droite passant par l'origine du plan)
+- \\(\\{\lambda , \mu \in \mathbb{R} \vert \lambda(x_1, y_1) + \mu(x_2,y_2)\\}\\) (un plan passant par l'origine du repère)
+- \\( \mathbb{R}^3 \\) (l'ensemble lui même)
+
+et nous pouvons ettendre cette definition pour \\(\mathbb{R}^N\\)
+
+## Combinaisons linéaires
+
+- Soit \\(V \subseteq \mathbb{R}^n\\) un SEV
+    - Soient \\(v_1, ..., v_k \in \mathbb{R} \quad \text{Soit } v \in V\\)
+        - On dit que \\(v \\) est une **Combinaison Linéaire** de \\(v_1, ..., v_k\\)
+            - Ssi \\(\exists \lambda_1, ...,  \lambda_k \in \mathbb{R} \quad v = \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_k v_k\\)
+> - Examples
+>     - Dans \\(\mathbb{R}^2 \quad (2,3)\\) est une **combinaison linéaire** de (1,0) et (0,1).
+>         - On peut multiplier (1,0) par 2 et (0,1) par 3.
+> - Contre-Example
+>     - Dans \\(\mathbb{R}^3 \quad (1,2,3)\\) n'est pas **combinaison linéaire** de (1,0,0), (0,1,0) et (1,1,0)
+>         - Le système d'équation n'a pas de solutions (3 = 0 est faux) donc imposible, Aucuns réel ne peux multiplier ces vecteurs pour donner (1,2,3)
+
+- Soient \\( v_1 ... v_k \in \mathbb{R}^n\\)
+    - L'**espace vectoriel** engendré par \\(v_1 ... v_k\\), noté \\(<v_1 ... v_k>\\) est l'ensemble des combinaisons linéaire de \\(v^1...v^k\\)
+        - \\(<v_1 ... v_k> = \\{(x_1, ..., x_k) \in \mathbb{R}^n \vert \exists \lambda_1 \in \mathbb{R}...\exists\lambda_k \in \mathbb{R} (x_1, ..., x_k) = \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_k v_k\\}\\)
+
+- Soit \\(V \subseteq \mathbb{R}^n \\) un SEV
+    - Soit \\(v_1 ... v_k \in V\\)
+        - On dit que \\(\\{v_1 ... v_k\\}\\) est **une partie (ou famille) génératrice** de V
+            - SSI \\(V = <v_1 ... v_k>\\)
+> - Example
+>     - \\(\\{(1,0,0), (1,0,1)\\}\\) est **une famille génératrice** de \\(<(1,0,0), (1,0,0)>) = \\\{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \vert x_2 = 0\\}\\)
+
+Le fait d'ajouter plus de vecteurs que nécéssaires est possible mais n'est pas recommendé car celà ajoute de la complexitée et/ou de l'ambiguitée
+lors de la combinaisons des vecteurs.
+Il pourrait alors y avoir plusieurs combinaisons différentes pour la même solutions
+
+## Dépendance linéaire
+
+Qu'est ce que des vecteur linéairement dépendants ?
+
+- Soient \\(v_1 ... v_k \in \mathbb{R}^n\\)
+    - On dit que les vecteurs \\(v_1 ... v_k\\) sont **linéairement dépendant**
+        - SSI \\(\exists \lambda_1, ..., \lambda_k \in \mathbb{R}\\) **non-tous nuls**
+            - tel que \\(\lambda_1 v_1 + ... + \lambda_k v_k = \vec{0}\\)
+                - C'est un ensemble de vecteurs tel que le vecteurs nul en est leurs combinaison linéaire (ou les facteurs sont différents de tous 0)
+    - On dit que les vecteurs \\(v_1 ... v_k\\) sont **linéairement indépendant**
+        - SSI \\( \forall \lambda_1, ..., \lambda_k \in \mathbb{R} \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i vi = 0 \implies \lambda_1 = ... = \lambda_k = 0 \\) 
+            - La seule combinaison linéaire pour obtenir le vecteur nul est de multiplier tout les vecteurs par 0
+
+Un ensemble de vecteurs linérairement indépendant est appelé une **Partie ou famille libre **
+
+- Soit \\( L: V_1 \to V_2 \\) Une application linéaire tq \\( Ker(L) = {0} \\) 
+    - Si \\( \\{ v_1, ... v_k \\} \\) est une famille libre dans \\( V_1 \\) 
+        - Alors \\( \\{ L(v_1), ..., L(v_2) \\} \\)  est une famille libre dans \\( V_2 \\) 
+
+## Base
+
+- Soit \\( V \subseteq \mathbb{R}^n \\) un SEV
+    - Soient \\( v_1, ..., v_k \in V \\) 
+        - On dit que \\( \\{ v_1, ..., v_k \\}\\) est une **base de V** ssi, et
+            - \\( \\{ v_1, ..., v_k \\}\\) est une **famille libre**
+            - \\( \\{ v_1, ..., v_k \\}\\) est une **famille génératrice de V**
+    - B_1 et B_2 des bases de V:
+        - \\( |B_1| = |B_2| \\) 
+
+- Soit \\( V \subset \mathbb{R}^n \\) 
+    - Soit \\( B \text{ une Base de } V \\) constituée de \\( k \\) éléments
+        - On dit que V est de **Dimention** k. noté \\( dim(V) = k \\) 
+
+- Soit \\( V \\) un sous-espace vectoriel de \\( \mathbb{R}^n \\)
+    - Soit \\( B: \\{ v_1, ..., ...v_k \\} \\) une base de V.
+        - Soit \\( v \in V \quad v = \lambda_1 * v_1 + ... + \lambda_k * v_k \\) 
+            - \\( (\lambda_1, ..., \lambda_k) \\) sont **les coordonées de v dans la base B**
+
+

src/math/all/chap2.md

@@ -0,0 +1,62 @@
+# Application Linéaire
+
+Nous parlons maintenant de fonctions.
+
+Nous avons vu les fonctions:
+
+- **Injective**: \\( \forall a_1, a_2 \in A \quad  a_1 \neq a_2 \implies f(a_1) \neq f(a_2)\\) 
+- **Surjective**: \\( \forall b \in B \exists a \in A \quad f(a) = b \\)  (Tout les points sources ont une destination)
+- **Bijective**: Injective & Surjective
+
+[Rappels Fonctions](/math/logique/fonctions.md)
+
+## Application Linéaire
+
+- Soient \\( V_1, V_2 \subseteq \mathbb{R}^n \\)
+    - On dit que \\( L: V_1 \to V_2\\) est une **Application Linéaire**  ssi
+        1) \\( \forall u, v \in V_1 \quad L(u+v) = L(u) + L(v) \\) 
+        2) \\( \forall \lambda \in \mathbb{R} \quad L(\lambda v) = \lambda L(v) \\) 
+
+| Exemples  | Contre-Exemples |
+| --------- | --------------- |
+| L(x) = x  | L(x) = \|x\|    |
+| L(x) = 2x | L(x) = 2x + 1   |
+|           | L(x) = x²       |
+|           | L(x) = sin(x)   |
+
+## Image et Noyaux
+
+- Soit \\( L: V_1 \to V_2 \\) Une application Linéaire
+    - \\( Ker(L) = \\{ v \in V_1 \mid L(v)=0 \\} \\) Noyau de L
+    - \\( Im(L) = \\{ v \in V_2 \mid \exists u \in V_1 \quad L(u) = v \\} \\) Image de L
+
+### Théorem du Rang
+
+- Soit \\( L: V_1 \to V_2 \\) 
+    - \\( Dim(Ker(L)) + Dim(Im(L)) = Dim(V_1) \\) 
+
+## Matrice → Application Linéaire
+
+- Soit \\( M \in \mathbb{R}^{n \times m} \\) 
+    - L'application linéaire associée à \\( M \\) notée \\( L_M \\) 
+        - \\( L_M : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n \quad \text{ définit par } L_M(v)= \underset{n \times m}{M} \cdot \underset{m \times 1}{v} \\) 
+
+## Application Linéaire → Matrice
+
+\\[
+    L: V_1 \to V_2 \leadsto M_L^{B_1 \to B_2}
+\\]
+
+1) Choisir une Base \\( B_1 = \\{ e_1, ..., e_n \\} \text{ de } V_1 \text{ et } B_2 = \\{ E_1, ..., E_k \\} \text{ de } V_2\\)
+2) Pour chaques \\( e_i \in B_1 \text{, calculer} L(e_i)\\) 
+3) Pour chaques \\( e_i \in B_1 \text{, exprimer } L(e_i) \text{ comme combi. li. de } E_1 ... E_k \\)
+4) Transformation en matrice 
+5) On peut ensuite faire un "Sanity Check" en fesant l'opération inverse
+
+## Composé d'application linéaires
+
+On parle de \\( L_2 \circ L_1 \\) pour \\( L: V_1 \to V_2 \to V_3 \\)
+
+On veut \\( M_{L_2 \circ L_1}^{B_1 \to B_3} \\)
+
+Pour ca on fait : \\( M_{L_2}^{B_2 \to B_3} * M_{L_2}^{B_1 \to B_2} \\) 

src/math/all/index.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+# Algèbre Linéaire
+
+

src/math/all/matrix.md

@@ -0,0 +1,217 @@
+# Les Matrices
+
+On considére un system:
+
+\\[
+    \begin{cases}
+        x - 2y + 3z = 4 \\\\
+        2x + y - 4z = 3 \\\\
+        -3x + 5y -z = 0 
+    \end{cases}
+\\]
+
+Un système est caractérisé par ses cohéfficients et par les thermes indépendants.
+Les nombres sont placés à des positions bien précises.
+On peut représenter ces nombres dans un tableau
+
+\\[
+    \begin{pmatrix}
+        1   &-2 &3  &4 \\\\
+        2   &1  &-4 &3 \\\\
+        -3  &5  &-1  &0
+    \end{pmatrix}
+    \text{ On dit que M est une matrice de taille } 3 * 4
+\\]
+
+Une matrice de taille \\( m * n \quad  (m,n \in \mathbb{N}_ 0 ) \\) est un tableau
+dont les éléments sont rangés selon m lignes et n colonnes
+
+\\[
+    A = \begin{pmatrix}
+        a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\\\
+        a_{21} &a_{22} &\cdots &\vdots \\\\
+        \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\
+        a_{m1} &\cdots &\cdots &a_{mn}
+    \end{pmatrix}
+    a_{23} \text{ est situé 2e ligne, 3e colonne } \\\\
+    A = (a_{ij} a_{ij} \text{ est un terme de } A)
+\\]
+
+## Operations sur les matrices
+
+### Egalitée
+
+ \\( A = B \iff A \text{ et } B \\) ont la même taille et \\( a_{ij} = b_{ij} \quad \forall i,j \\) 
+
+### Transposition
+
+\\( A^t \\)  est la matrice dont les lignes et les colonnes de \\( A \\)  sont inversée
+
+#### Exemple
+
+\\[
+    A = \begin{pmatrix}
+        1 &2 \\\\
+        3 &4
+    \end{pmatrix}
+    A^t = \begin{pmatrix}
+        1 &3 \\\\
+        2 &4
+    \end{pmatrix}
+\\]
+
+### Produit par un scalaire
+
+- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{m * n} \quad k \in \mathbb{R}   \\) 
+    - La matrice \\( k * a \\) est une matrice \\( B \\) de taille \\( m * n \\) tel que
+        - \\( b_{ij} ka_{ij} \quad \forall i,j \\) 
+
+#### Exemple
+
+\\[
+    2\begin{pmatrix}
+        1 &2 &3\\\\
+        4 &5 &6
+    \end{pmatrix}
+    = \begin{pmatrix}
+        2 &4 &6\\\\
+        8 &10 &12
+    \end{pmatrix}
+\\]
+
+### Produit de 2 matrices
+
+
+\\[
+    A * B = C \quad 
+    \begin{align}
+        c_{ij} &= a_{ij} * b_{ij} + ... a_{in} * b_{nj} \\\\
+        &= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik} * b_{kj}
+    \end{align}
+\\] 
+
+#### Exemple
+
+\\[
+    \begin{pmatrix}
+        2 &1 &-1 \\\\
+        3 &0 &2
+    \end{pmatrix} * 
+    \begin{pmatrix}
+        1 \\\\
+        -2 \\\\
+        2 
+    \end{pmatrix} =
+    \begin{pmatrix}
+        2 - 2 - 2 \\\\
+        3 + 0 + 4
+    \end{pmatrix} =
+    \begin{pmatrix}
+        -2 \\\\
+        7
+    \end{pmatrix}
+\\]
+
+## Résoudre des système d'équation
+
+### Via l'échelonnement des matrices
+
+1) \\( [A | B] \\)  (A augmenté de B)
+2) Echeloner notre matrice ( Grace aux transformations elementaires ci-dessous )
+    - \\( L_i \leftrightarrow  L_j\\) (Echange de lignes)
+    - \\( L_i \gets \alpha L_i \quad \alpha \in \mathbb{R} \\) 
+    - \\( L_i \gets L_i + L_j \\)
+3) Revenir au système et trouver S
+
+### Via le calcul de déterminants
+
+Un déterminant est un réel calculé sur une matrice carrée
+
+#### La méthode de Sarros
+
+Cette méthode ne fonctionne que pour les matrices 2x2 et 3x3
+
+##### 2x2
+
+- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{2 * 2}  \\) 
+\\[
+    \det A = 
+    \begin{vmatrix}
+        a_{11} &a_{12} \\\\
+        a_{21} &a_{22}
+    \end{vmatrix}
+    = (a_{11} * a_{22}) - (a_{12} * a_{21})
+\\]
+
+##### 3x3 
+
+- Soit \\( B \in \mathbb{R}^{3 * 3}  \\) 
+\\[
+    \det B = 
+    \begin{vmatrix}
+        b_{11} &b_{12} &b_{13} \\\\
+        b_{21} &b_{22} &b_{23} \\\\
+        b_{31} &b_{32} &b_{33} \\\\
+    \end{vmatrix}
+        = (b_{11} * b_{22} * b_{33}) + (b_{12} * b_{23} * b_{31}) + (b_{13} * b_{21} * b_{32}) - (b_{13} * b_{22} * b_{31}) - (b_{12} * b_{21} * b_{33}) - (b_{11} * b_{23} * b_{32})
+\\]
+
+### La méthode des cofacteurs
+
+Utilisé pour les matrices + grandes ou égales à 3x3
+
+- **Un Mineur** de l'élément \\( a_{ij} \\) est le déterminant de la matrice \\( Aij \\)
+    - C'est à dire la matrice \\( A \\) où on a supprimé la ligne i et la conlonne j
+        - On la note \\( M_{ij} \\) 
+
+- Le **Cofacteur** de la position ij est le nombre \\( (-1)^{i+j} * M_{ij} \\) 
+    - On le note \\( C_{ij} \\) 
+
+On choisit ensuite une ligne a déveloper, au plus il y a de zeros au mieux c'est
+
+- Soit \\( A \in \mathbb{R}^{n * n} \\) 
+    - Si on développe la ie Ligne
+        - \\( \forall 1 \leq i \leq n \quad \det A = \displaystyle\sum_{j=n}^n a_{ij} * C_{ij} \\) 
+
+#### Inverse d'une matrice
+
+Sachant que l'inverse d'un réel \\( x \\) est \\( x^{-1}  \\) tel que \\( x * x^{-1} = 1\\) 
+
+On peut étendre cette définition aux matrice pour que \\( A * A^{-1} * A = \mathbb{I}  \\) 
+Une matrice nxn est inversible ssi \\( \det A \neq 0 \\) 
+
+On peut trouver cette matrice inverse à l'aide de la matrice ompagnon.
+1) On vérifie que le détérminanat est différent de 0
+2) On applique des transformations élémentaires sur A et sur \\( \mathbb{I} \\) en même temps jusqu'a transformer \\( A \text{ en } \mathbb{I}\\) 
+
+> Mais comment utiliser la matrice inverse pour résoudre un system?
+
+On sait que \\( A \cdot x = b \\) est la représentation d'un système en matrice.
+\\[
+\begin{align}
+    A*x &= b \\\\
+    A^{-1} * A * x &= A^{-1} * b \\\\
+    \mathbb{I} * x &= A^{-1} * b \\\\
+    x &= A^{-1} * b
+\end{align}
+\\]
+
+où x est la matrice de variable, on aura donc nos solutions directement en mutlipliant nos matrices
+
+
+## Diagonalisation
+
+- Soit \\( M \in \mathbb{R}^{n \times n} \\) 
+    - On dit que M est **Diagonale** ssi
+        - \\( \forall i, j \quad i \neq j \implies a_{ij} = 0 \\) 
+
+donc de la forme
+\\[
+    \begin{pmatrix}
+        x &0 &0\\\\
+        0 &y &0\\\\
+        0 &0 &z\\\\
+    \end{pmatrix}
+\\]
+
+Remarque: Diagonaliser une matrice associée à \\( L : V \to V \\) revient à trouver une base de V constituée de [vecteur propres](./vpropres.md) de L

src/math/all/vpropres.md

@@ -0,0 +1,34 @@
+# Valeur/Vecteur/Espaces propres
+
+- Soit \\( M \\) une matrice \\( n \times n \\). Soit \\( L: V \to V \\) une application linéaire
+    - Soit \\( v \in V \\) un vecteur **Non-Nul**.
+        - On dit que \\( v \\) est un **vecteur propre** de \\( L/M \\) ssi
+            - \\( \exists \lambda \in \mathbb{R} \quad L(v) = \lambda v / Mv = \lambda v \\) 
+                - Ce \\( \lambda est la **valeur propre** associée à v \\) 
+                    - l'ensemble des vecteurs propres d'une valeur propres est **un espace propre**
+
+En passant par les matrice, on a bien que \\( Mv = \lambda v \\) et on peut transformer cette equation en \\( (M - \lambda 𝟙 )* v = 0 \\) 
+
+Pour isoler lambda on peut alors faire \\( det(M - \lambda 𝟙 ) = 0 \\) qui nous permet alors de trouver les vecteurs et espaces propres
+
+## Diagonalisable
+
+- Soit \\( L : V \to V \quad dim(V) = n \\) 
+    - L est [**Diagonalisable**](./matrix.md#diagonalisation) ssi
+        - Il existe n vecteurs propres de L linéairement indépendants
+
+- Donc toutes les matrices ne sont pas diagonalisables!
+    - Si pas dans \\( \mathbb{R} \\) pour être dans les complexes
+    - attention aux dimentiosn de l'éspaces propre
+
+1) Trouver les valeurs propres
+    1) calculer le détérminant du polynome caractéristique 
+        - les valeurs pour lequels ce det est = 0 alors lambda sont nos valeurs propres\\( det(M - \lambda 𝟙 ) = 0 \\)
+        - pour chaques lambdas, calculer sa multiplicité
+    2) Vérifier que les lambdas sont bien dans les réels
+    3) Trouver les espaces propres (ensemble de tout les vecteurs propres) 
+        - pour chauques lambdan calculer \\( M - \lambda 𝟙 = 0\\) 
+    4) Vérifier \\( dim(E_i) = k_i \\) si pas, M n'est pas diagonalisable
+    5) Calculer la matrice diagonale
+        - Retourner la matrice diagonale dont la ligne de diagonale est composée des valeurs propres \\( \lambda_ i \\) , chacune répétée \\( k_i \\)  fois
+            - Cette matrice de L a pour base les vecteurs propres de chaques \\( lambda_i \\) dans l'ordre mis dans la matrice

src/math/calculus/chap1.md

@@ -22,7 +22,7 @@ Une [fonction](../logique/fonctions.md) est une relation qui à chaques élémen
     f: A \to B: x\mapsto y = x^2
 \\]
 
-**Atention, A n'est pas forcément le domaine** mais \\(f \subseteq A\\) Toujours
+**Attention, A n'est pas forcément le domaine** mais \\(f \subseteq A\\) Toujours
 
 ### Le domaine d'une suite
 
@@ -46,7 +46,7 @@ On dit qu'une suite est **majorée** ou **bornée supérieurement** / **minorée
     - \\((x\_n)\\) est **Décroissante** et **Non Minorée**,
         - Alors \\(x\_n \xrightarrow[n \to + \infty]{} - \infty\\) 
 
-- Soit \\((x\_n)\_{n\in I} \subseteq \mathbb{R}\\), si soit:
+- Soit \\((x\_n)\_{n\in I} \subseteq \mathbb{R}\\):
     - On dit que \\((x\_n)\\) est **Bornée** si:
         - \\(\exists R\_1, R\_2 \in \mathbb{R} , \forall n \in I \quad R\_1 \leq x\_n \leq R\_2\\)
             - (équivalent à : )  \\( \exists R > 0, \forall n \in I \quad |x\_n| \geq R\\)
@@ -216,6 +216,16 @@ Pour construire une sous-suite, on pioche des éléments. mais:
     \\]
         - Alors, \\( (y\_n) et (z\_n)\\) sont des sous-suites **Exhaustives** de \\((x\_n) \text{ si } \varphi\_1(J\_1) \cup \varphi\_2(J\_2) = I\\)
 
+## Méthode de résolution
+
+### Méthode du monome de plus haut degrés
+
+On divise numérateur et dénominateur par le même \\(n^i\\) de plus haut degré 
+Nous obtenons alors des limites plus faciles à gérer par rdc
+
+Dans le cas où les termes sont du type \\(a^n\\) alors on applique la même méthode pour
+le |a| le plus grand
+
 ## Notations
 
 le terme générale d'une suite est noté

src/math/calculus/chap2.md

@@ -9,3 +9,150 @@ La limite d'une fonction se note \\[\lim\limits_{x \to a}f(x) = b\\] ou \\[f(x)
         - \\(\forall (x\_n) \subseteq dom(f) \quad (x\_n \to a) \implies (f(x\_n) \to b)\\)
 
 
+Pour considérer \\(f(x) \xrightarrow[x \to a]{} b\\) on demande que \\(a \in adh(dom(f))\\)[^adh]
+
+**Attention** la notation \\(\to \text{ et } \lim\\) ne sont pas les mêmes...
+En effet, si \\(a \notin adh(dom(f))\\) alors f(x) tend vers b est vrai mais lim f(x) n'existe pas
+
+**ATTENTION**: pour l'examen! seul manière de le prouver
+- Soient \\(A, B \subseteq \mathbb{R} \text{ et } B \subseteq A\\)
+    - Si \\(\lim\limits_{x\to a \\\\ x\in A}f(x) = b\\)
+        - Alors \\(\lim\limits_{x\to a \\\\ x\in B}f(x) = b\\)
+
+- **idée**: Pour \\(\lim\limits_{x \to a} f(x) = b\\), si \\(a \in dom(f)\\) alors,
+    - soit \\(\lim\limits_{x\to a} f(x)\\) n'éxiste pas
+    - soit \\(\lim\limits_{x\to a} f(x)\\) existe et vaut f(a) 
+
+## Limites possibles
+
+\\[
+    \lim\limits_{x \to \begin{cases}b \in \mathbb{R} \\\\ +\infty \\\\ -\infty\end{cases}}f(x) = \begin{cases}b \in \mathbb{R} \\\\ +\infty \\\\ -\infty\end{cases}
+\\]
+
+### Unicitée de la limite
+
+- Soient \\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in adh(dom(f)) \quad b_1, b_2 \in \mathbb{R} \cup \\{ - \infty , + \infty \\}\\)
+    - Si \\(f(x) \xrightarrow[x \to a]{} b_1 et f(x) \xrightarrow[x \to a]{} b_2\\)
+        - alors \\(b_1 = b_2\\)
+
+- si \\(\exists (x_n), (y_n) \subseteq dom(f) \text{ tel que } x_n \to a \text{ et } y_n \to a \\) et \\(f(x_n) \to b \text{ et } f(y_n) \to b' ( b \neq b' )\\)
+    - alors \\(\lim\limits_{x \to a}f(x)\\) n'existe pas
+
+- S'il existe 2 ensembles \\(A_1, A_2\\) tel que
+    - \\(\lim\limits_{x \to a \\\\ x \in A_1}f(x) \text{ et }\lim\limits_{x \to a \\\\ x \in A_2}f(x)\\) existent et sont différentes,
+        - Alors \\(\lim\limits_{x\to a} f(x)\\) n'éxiste pas
+
+## Adhérence
+
+l'adherence d'un ensemble coorespond à l'ensemble lui meme uni avec les points adherents
+
+- Soit \\(E \subseteq \mathbb{R}\\)
+    - **L'adhérence** de E est l'ens noté \\(adh(E)\\) défini par
+        - \\(adh(E) = \\{x \in \mathbb{R} \vert \exists (x\_n) \subseteq E \quad x\_n \to x\\}\\)
+
+- **Remarques**
+    - \\(E \subseteq adh(E)\\)
+    - \\(adh(E) \nsubseteq E\\)
+    - Il peut arriver que \\(E = adh(E)\\)
+    - Toutes les suites sont adh à \\(\mathbb{R}\\) et \\(adh(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\\)
+
+## Régles de calculus
+
+- Soient \\(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a\in adh(dom(f)) \quad b,c \in \mathbb{R}\\)
+    - Si \\(\lim\limits_{x \to a} f(x) = b \text{ et } \lim\limits_{x \to a} g(x) = c\\)
+        - Alors \\(\lim\limits_{x \to a} f(x) + g(x) = b + c\\)
+        - Alors \\(\lim\limits_{x \to a} f(x) * g(x) = b * c\\)
+        - Alors \\(\lim\limits_{x \to a} f(x) / g(x) = b / c (\text{si } c\neq 0)\\)
+
+- **Remarque**
+    - \\(dom(f+g) = dom(f) \cap dom(g)\\)
+    - \\(dom(f\*g) = dom(f) \cap dom(g)\\)
+    - \\(dom(f/g) = dom(f) \cap dom(g)\backslash \\{0\\}\\)
+
+## Théorem de localité
+
+Si nous regardons la fonction sur un interval pertinent pour étudier la convergence de cette fonction, nous pouvons en déduire la convergence en un point de cette fonction
+
+- Soient \\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in adh(dom(f)) \quad b \in \mathbb{R} \cup \\{-\infty , +\infty \\} \quad r > 0\\)
+    - On a \\(\lim\limits_{x\to a} f(x) = b  \text{ ssi } \lim\limits_{x\to a \\\\ x\in [a-r,a+r]} f(x) = b\\)
+
+Notre définition devient alors \\(\forall (x\_n) \subseteq dom(f) \cap A \quad (x\_n \to a) \implies (f(x\_n) \to b) \text{ où } A =[a-r,a+r]\\)
+
+Ce qui veut dire que sur cet interval, nous pouvons y trouver une convergence vers un point. et par unicitée de a limite, si ce point converge, alors ce point converge peut import l'interval de la fonction!
+
+## Théorem d'exhaustivité
+
+Certaines fonctions ne nous permettent pas de connaitre la valeur d'une limite d'un simple coup d'oeuil. ou bien cette valeur peut être ambigue car est sur un "point jonction".
+Nous utilisons alors le théorem d'exhaustivité.
+
+Le but est de poser plusieurs sous-ensemble du domaine qui ensemble forment le domaine lui même (exhaustif). et ensuite d'étudier la limite sur chaquns de ces ensembles
+
+par exhaustivitée nous verons si une seule limite ou si plusieurs limites sont présentes... dans le cas d'une seul limite, nous savons que notre limite existe. dans le cas contraire, notre limite n'éxiste pas
+à cause de l'unicité de notre limite...
+
+- Soit \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a, b \in \mathbb{R} \quad A\_1, A\_2 \subseteq \mathbb{R}\\)
+    - on prend \\(r \in \mathbb{R} \text{ tq } r > 0 \\) et \\([a-r, a+r] \cup dom(f) \subset A_1 \cup A_2\\)
+    - Si \\(f(x) \xrightarrow[\substack{x \to a \\\\ x\in A_1}]{} b\\) et \\(f(x) \xrightarrow[\substack{x \to a \\\\ x\in A_2}]{} b\\)
+
+On peut également utiliser cette formule, plus précise dans certains cas:
+
+- Soit \\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a\in \mathbb{R} \text{ tq } a \in adh(]-\infty , a[ \cap dom(f)) \text{ et } a \in adh(]a, + \infty [ \cap dom(f))\\)
+    - si \\(\lim\limits_{x\to a \\\\ x < a} f(x) \text{ et } \lim\limits_{x\to a \\\\ x > a} f(x)\\) existent, sont égales et valent f(a)
+        - alors \\(\lim\limits_{x \to a} f(x)\\) existe et vaut cette valeur commune
+
+## Théorem des valeurs intérmédiaires
+
+On sait que si dans l'interval d'une fonction, le début et la fin de cet interval sont de signes opposés, que nous trouverons au moins un point de la droite qui croisera l'axe des abscisses
+
+- Soient \\(f: [a, b] \to \mathbb{R}\\) une application continue tq \\(f(a) * f(b) < 0\\)
+    - Alors il existe \\(\xi \in ]a, b[ \text{ tq } f(\xi ) = 0\\)
+
+> Nous voyons l'importantce des hypothéses! Si la fonction n'est pas une application continue, ou que les signes ne sont pas opposés ou encore que nous regardons la fonction sur un autre ensemble.
+> Alors le théorem ne serait pas forcément vrai!
+
+## Convergence dominée
+
+**Attention pour l'examen!!**
+
+La convergence dominée permet de comparer la limite d'une fonction (g(x)) pour en déduire la convergence d'une fonctione plus petit que sa valeur absolue diminuée d'un réel.
+
+- Soient \\(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in adh(dom(f)) \quad b \in \mathbb{R}\\)
+    - Supposons qu'il existe un réel \\(r > 0 \text{ tel que } [a - r, a + r] \cap dom(f) \subset Dom(g)\\) et \\(\forall x \in [a-r, a+r] \cap dom(f) \quad \vert f(x) - b \vert \leq g(x)\\)
+        - alors si \\( g(x) \xrightarrow[x \to a]{} 0, x \in A\\)
+            - On a \\(f(x) \xrightarrow[x \to a]{} b, x \in A\\)
+
+## La continuitée des fonctions
+
+On parle d'une fonction continue lorsque tout les points de cette fonction sont continue.
+Un point d'une fonction est continue si celui-ci a une limite et que la valeur de cette limite est la valeur de la fonction en ce point
+
+On dit souvent que c'est une fonction qui se trace sans lever le crayon. mais c'est faux!
+déjà cela dépend du domaine de la fonction
+
+- Soient \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in dom(f)\\)
+    - On dit que f est **continue en a**
+        - si \\(\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)\\)
+        - (déf par suites) \\(\forall (x\_n) \subseteq dom(f) \quad x\_n \to a \implies f(x\_n) \to f(a)\\)
+    - On dit que f est **continue**
+        - si \\(\forall a \in dom(f) \quad f \text{ est continue en } a\\)
+
+Finalement, f est continue lorsque un point du domaine ne converge pas... c'est graphiquement lorsqu'il y a une cassure dans la fonction. mais si cette cassure apparait sur un point qui n'est pas dans le domaine, alors la fonction reste continue
+
+On note alors \\(\mathscr{C}(A, B) = \\{f:A\to B \vert f \text{ est une application continue }\\}\\)\
+
+(ex: \\(f(x) = x^2 \qquad f \in \mathscr{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\\))
+
+
+### Régles de calculs 
+
+- Soient \\(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a\in dom(f) \quad a\in dom(g)\\)
+    - Si f et g sont continue en a
+        - Alors \\(f + g\\) est aussi continue en a
+        - Alors \\(f * g\\) est aussi continue en a
+        - Alors \\(f / g\\) est aussi continue en a (si \\(g(a) \neq 0\\))
+    - Si f est continue en \\(a \in dom(f)\\) et g est continue en \\(f(a) \in dom(g)\\) 
+        - alors \\(g \circ f\\) est continue en a
+
+[^adh]:[L'adhérence](#ladhérence)
+
+

src/math/calculus/chap3.md

@@ -1 +1,179 @@
 # Dérivabilité des fonctions
+
+Une fonction \\( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\) est **dérivable** en un \\( a \in dom(f)\\) Si
+\\[ 
+    \lim\limits_{x \to a \\\\ x \in dom(f) \backslash\\{a\\}} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \text{ existe }
+\\]
+Dans ce cas la dérivée de f en a est la valeur de \\(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - g(x)}{x - a}\\)
+
+> Mais ceci require [l'unicitee de la limite](./chap2.md#unicitée-de-la-limite)
+
+Donc \\(a \in adh(dom(f) \backslash \\{a\\}) \cap dom(f) \\)
+
+Il faut qu'il existe \\((x\_n) \subseteq dom(f) \backslash \\{a\\} \text{ tq } x\_n \to a\\) (donc que a \\(\in dom(f)\\) ne soit pas un point isolé)
+
+- On dit que f est dérivable sur \\(A \subseteq dom(f)\\)
+    - Si \\(\forall a\in A \quad a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\) et f est dériable en a
+
+- si \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\) est dérivable en \\(a \in dom(f)\\)
+    - alors f est continue en a
+
+## Notation
+
+Quand la dérivée est définie, on la note 
+- \\(f'(a)\\)
+- \\(D\_x f(a)\\)
+- \\(\partial \_x f(a)\\)
+
+- Si \\(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\)
+    - La **composée de f avec g** est la fonction \\((f \circ g)\\) définie par
+        - \\(f \circ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto f (\circ g)(x) = f(g(x))\\)
+            - \\(dom(f \circ g) = \\{x \in \mathbb{R} \vert x\in dom(g) et g(x) \in dom(f)\\}\\)
+
+- Dérivée de composée de fonctions
+    - \\(\partial \_x (f(x)\vert \_{x = x} ) * \partial \_x g(x)\\)
+
+## Interpretation graphique
+
+Nous calculons donc la pente de la droite (\\(\frac{f(b) - f(a)}{b-a}\\))
+
+Mais nous prenons des valeurs où \\(b \to a\\) donc nous avons une fonction tangeante à la fonction
+
+- La droite **Tangeante** est la droite 
+    - de la pente \\(\partial f(a)\\)
+    - passant par \\((a, f(a))\\)
+
+Une equation cartésienne serait : \\(y = f(a) + \partial f(a)\*(x-a)\\)
+
+- ex: \\(f(x) = x ^ 3 \quad a = 1\\)
+    - \\(\partial f(x) = 3x^2 \quad \partial f(a) = 3\\)
+
+## Interpretation de l'hypothése
+
+- pour \\(a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\)
+    - Si a \\(\notin adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\)
+        - alors \\(\exists r > 0 \quad [a-r, a+r] \cup dom(f) = \\{a\\}\\)
+            - On ne pourrait pas trouver la dérivée car pas assez de points proche de a
+            - Nous évitons juste d'avoir un point isolé
+
+## Régles de calculs
+
+- Soient \\(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\) deux fonctions dérivables en a et \\(a \in dom(f) \cap dom(g) \cap adh(dom(f)\backslash \\{a\\}) \cap adh(dom(f)\backslash \\{a\\})\\)
+    - Si \\(\partial (f+g)(a)\\)
+        - Alors \\(\partial f(a) + \partial g(a)\\)
+    - Si \\(\partial (f\*g)(a)\\)
+        - Alors \\(\partial f(a) * g(a) + f(a) * \partial g(a)\\)
+    - Si \\(\partial (f/g)(a)\\)
+        - Alors \\(\frac{\partial f(a) * g(a) - f(a) * \partial g(a)}{(g(a))^2}\\)
+    - Si \\(\partial (f\circ g)(a)\\)
+        - \\(\partial f(g(a)) * \partial g(a)\\)
+
+## Dérivés de fonctions de base
+
+- \\(\partial \_x (k) = 0 \quad k \in \mathbb{R}\\)
+- \\(\partial \_x (x^n) = n * x ^{n - 1} \quad n \in \mathbb{Z}\\)
+- \\(\partial \_x (x^\alpha ) = \alpha * x ^{\alpha - 1} \quad \alpha \in \mathbb{R}\\) 
+- \\(\partial \_x (cos(x)) = -sin(x) \\)
+- \\(\partial \_x (sin(x)) = cos(x) \\)
+- \\(\partial \_x (ln(x)) = 1/x\\)
+- \\(\partial \_x (e^x) = e^x\\)
+
+## fonctions réciproques
+
+Une fonction réciproque est l'image d'une fonction "inverse" (retournée sur l'axe x et l'axe y)
+
+- On appelle g la **fonction réciproque** de f et on la note \\(f ^{-1}\\) (attention, différent de \\(\frac{1}{f}\\))
+    - \\(\forall x, x' \in dom(f) \quad  x \neq x \quad f(x) \neq f(x')\\) (donc f une fonction injective)
+        - \\(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad y \mapsto (x \text{ tq } f(x) = g)\\) (est bien une fonction car f est injective)
+            - \\(\implies dom(g) = Im(f)\\)
+    - Pour ces fonction on sait que
+        - \\(\forall x dom(f) \quad g(f(x)) = x\\)
+        - \\(\forall y dom(g) \quad f(g(y)) = y\\)
+
+### Dérivée de fonctions réciproques
+
+\\[\partial f^{-1}(y) = \frac{1}{\partial f(f^{-1}(y))}\\]
+
+- Si \\(f: [a, b] \to \mathbb{R}\\) est injective et \\(c \in [a,b]\\) et f est dériable en c
+    - Alors \\(f^{-1}\\) est dérivable en \\(f(c)\\) et \\(\partial f^{-1}(c) = \frac{1}{\partial f(c)}\\)
+
+### Dérivée de arcsin
+
+\\(sin(x)\\) n'est pas injective. on ne peux donc pas prendre sa réciproque
+
+on se restrain donc à l'interval \\([\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \to \mathbb{R}\\) alors sin(x) est injective et nous pouvons prendre sa réciproque
+
+cette fonction est appelée arcsin et est la fonction réciproque de sin
+nous avons également arccos qui est la fonction réciproque de cos
+ainsi que arctan qui est la fonction réciproque de arctan
+
+- donc \\(dom(arcsin) = Im(sin) = [-1, 1]\\)
+- on a \\(\forall y \in [-1; 1] \quad sin(arcsin(y)) = y\\)
+- on a \\(\forall x \in [\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \quad arcsin(sin(x)) = x\\)
+
+On peut dériver les 2 cotés de l'équation sur [-1;1] et nous pouvons en déduire que
+\\[\partial \_x arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}\\]
+
+
+## Minimum et Maximum de fonctions
+
+**Rappel**: [Croissance et décroissance de fonctions](../ineq/sqrt.html#défintions)
+
+- Si f est croissante et dérivable en \\(a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\)
+    - Alors \\(\partial f(a) \geq 0\\)
+- Si \\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\\) une application continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[
+    - Si \\(\forall x \in ]a,b[ \quad \partial f(x) \geq 0\\)
+        - alors f est croissante sur [a,b]
+
+- Soit \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a\in dom(f)\\)
+    - a est un point **min** à f (ou f atteint son min en a)
+        - Si \\(\forall x\in dom(f) \quad f(x) \geq f(a)\\)
+        - Si \\(\partial f(a) = 0\\) et f est décroissante sur \\(]-\infty , a[\\) et f est croissante sur \\([a, +\infty [\\)
+    - a est un point **max** à f (ou f atteint son min en a)
+        - Si \\(\forall x\in dom(f) \quad f(x) \leq f(a)\\)
+
+
+Ces points a ne sont pas forcément unique. on peut avoir plusieurs a minimum mais \\(f(a) = f'(a)\\)
+
+- Si a est un min/max de f et f est dérivable en a
+    - \\(\forall r > 0 \quad [a-r, a] \cap dom(f) \neq \emptyset \\) et \\(\forall r > 0 \quad [a, a+r] \cap dom(f) \neq \emptyset \\)
+        - alors \\(\partial f(a) = 0\\)
+
+- Si \\(\partial f(a) = 0 \text{ et } \partial ^2 f(a) > 0\\)
+    - alors \\(\exists r > 0 \quad \begin{align}& f \searrow \text{ sur } [a-r, a] \\\\ & f \nearrow \text{ sur } [a, a + r] \end{align}\\)
+        - d'où a est un point min de f sur [a-r, a+r]
+            - f est défini et dérivée 2 fois sur [a-e, a+e]\ (ou en général r < e)
+
+
+
+### Théorem de la moyenne
+
+Ce théorem décrit le fait que dans application continue, si nous prenons un interval [a,b] et regardons la pente entre a et b. nous pourons trouver un point qui à une valeur de dérivée égale à cette pente
+
+- Si \\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\\) une application continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ 
+    - alors il existe un \\(\xi \in ]a,b[\\) tq \\(f(b) - f(a) = \partial f(\xi ) (b-a)\\)
+\\[
+\partial f(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}
+\\]
+
+
+## Dérivés multiples
+
+Il est possible de dériver la dérivée d'une fonction et ce à plusieurs reprise
+
+- Si \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\)
+    - On appelle la **fonction dérivée** la fonction \\(\partial f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \mapsto \partial f(a)\\)
+        - \\(dom(\partial f) = \\{a \in dom(f) \vert a \in adh(dom(f) \backslash \\{a\\}) \text{ et a est dérivée en a }\\}\\)
+        - si \\(a \in dom(\partial f) \cap adh(dom(\partial f) \backslash \\{a\\}\\) 
+            - alors, on peut regarder si \\(\partial(\partial f)(a)\\) existe.
+                - Si c'est le cas, on appelle ca la dérivée seconde de f et on la note \\(\partial ^2 f(a)\\)
+
+- soit \\(k \in \mathbb{N}\\) si f possède k-1 dérivé sur un interval autour de \\(a \in dom(f) \text{ et } \partial ^{k-1} f\\) est dérivable en a
+    - alors, on dit que la dérivée \\(k^e\\) dans f en a existe et on la note \\(\partial ^k f(a) = \partial (\partial ^{k-1} f) f(a)\\)
+
+Définition par récurence
+
+\\[
+    \partial ^0 f = f \\\\
+    \partial ^k = \partial(\partial ^{k-1} f)
+\\]

src/math/calculus/chap4.md

@@ -1 +1,97 @@
 # Développement de Taylor
+
+Nous pouvons voir que 
+
+\\[
+    f(x) \approx f(a) + \partial f(a)(x-a) \\\\
+    \Downarrow \\\\
+    f(x) \xrightarrow[x \to a]{} f(a)
+\\]
+
+attention, f continue en a n'impliques pas que f est dérivée en a
+
+Nous cherchons donc à éttendre ca affin d'avoir une approximantion de fonction avec un polynome et ainsi pouvoir effectuer des opérations de limites sur ces fonctions
+
+## Petit-o
+
+On veut que \\(f(x) - (mx+p) \\) tende vers 0 plus vite que x-a
+
+- g est une fonction ("qui converge plus vite vers 0 que x-a quand x \to a")
+    - g est un petit-o ("o()") de x-a
+
+- Soit \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in dom(f)\\)
+    - On dit que la droite d'équation \\(y = mx + p\\ est **tangeante au graph de f**
+        - si \\(f(x) - (mx + p)\\) est un o (petit-o) de (x-a) quand \\(x\to a\\)
+            - càd \\(\lim\limits_{x\to a} \frac{f(x) - (mx + p)}{x - a} = 0\\) et \\(f(a) - (ma+p) = 0\\)
+
+- g est un **petit-o** de \\((x-a) ^k \quad k \in \mathbb{N}\\) si
+    - \\(\frac{g(x)}{(x-a) ^k} \xrightarrow[x\to a]{} 0\\) et \\(g(a) = 0 \text{ si } a \in dom(g)\\)
+        - se note \\(f(x) = o((x-a)^k)\\)
+
+- Donc
+    - \\(g(x) = o(1) \implies g(x) \xrightarrow[x\to a \\\\ \neq]{} 0\\) et \\(g(a) = 0 \text{ si } a \in dom(g)\\)
+    - \\((x-a)^l = o((x-a)^k)\\)
+        - si \\(l > k\\)
+
+### Notation
+
+\\(o(x-a)\\) représente une fonction qui est un petit o de x-a quand x tends vers a qui peut changer à chauqes occurences de o(x-a)
+
+ca représente ce qui est négligeable pour une fonction quand sa limite tend vers 0
+
+\\[
+    f(x) = o(g(x)) \iff \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{f(x)}{g(x)} = 0
+\\]
+
+- Soit \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\)
+    - Alors f est dérivée en \\(a \iff \exists m,p \quad y=mx+p\\) est tangeant au graphe de f en \\((a, f(a))\\)
+        - Auquel cas \\(m = \partial f(a) \text{ et } p = f(a) - \partial f(a) * a\\)
+
+### Régles de calculs pour "o"
+    
+- si \\(f = o(x-a)\\)
+    - alors \\(f(x) \xrightarrow[x \to a]{} 0\\)
+- \\(o(x-a) * o(x-a) = o(x-a)\\)
+- \\((x-a)^m = o((x-a)^n) (\text{ si } m > n)\\)
+- \\(f(x) * o((x-a)^n) = o((x-a)^n)\\)
+- \\(o((x-a)^n) + o((x-a)^n) = o((x-a)^n)\\)
+- \\(o((x-a)^n) = o((x-a)^m) (\text{si } m \leq n)\\)
+- \\(o((x-a)^n)^m = o((x-a)^{n * m})\\)
+- \\(o((x-a)^n) = o(1) * (x-a)^n\\)
+- \\(o(1) * (x-a)^n = o((x-a)^n)\\)
+- \\(o((x-a)^n) * o((x-a)^m) = o((x-a)^{n + m})\\)
+- \\(o((x-a)^n) * o((x-a)^n) = o((x-a)^n)\\)
+
+
+## Continuitée de fonctions dérivables 
+
+Comme vu dans le paragraphe sur [la continuitée des fonctions](./chap2.html#la-continuitée-des-fonctions)
+Nous pouvons noter 
+- \\(\mathscr{C}(A;B) = \\{f:A \to B \text{ application } | f \text{ est continue en } A\\}\\)
+
+Ajoutons à cette notation:
+- \\(\mathscr{C} ^1 (A;B) = \\{f: A\to B \text{ application } | f \text{ est dérivable sur A } \text{ et } \partial f \text{ est continue sur } A\\}\\) 
+- \\(\mathscr{C} ^k (A;B) = \\{f: A\to B \text{ application } | f^k \text{ est dérivable sur A } \text{ et } \partial^k f: A \to B \text{ est continue sur } A\\}\\) 
+
+Comme les fonctions dérivables sur A sont continue sur A. On a: \\(\mathscr{C}^1(A;B) \subseteq \mathscr{C}^0 (A;B)\\) 
+De plus \\(\mathscr{C}^2(A;B) \subseteq \mathscr{C}^1(A;B) \subseteq \mathscr{C}^0 (A;B)\\)
+
+## Polynomes
+
+Nous cherchons à transformer notre fonction en un polynome
+
+\\[
+f(x) = P(x) + o((x-a) ^k) \quad P \in \mathbb{P}^{\leq k} = \\{P \text{ polynome } | \text{ deg } P \leq k\\}
+\\]
+
+- Soit \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\}) \quad k \in \mathbb{N}\\)
+    - On dit que \\(P \in \mathbb{P} ^{\leq k}= \\{P \text{ polynome } | \text{ deg } P \leq k\\}\\) est un **Dévelopement de Taylor** de f en a d'ordre k
+        - Si \\(f(x) = P(x) + o((x-a)^k)\\)
+
+Si un Dévelopement de Taylor de f en a d'odre k existe alors il est unique.
+
+- Si \\(f: I \to \mathbb{R} \quad I \text { un interval } \quad a \in I \text{ sauf son bord } \quad k \in \mathbb{N} \\) et \\(f \in \mathscr{C} ^k (I; R)\\)
+    - Alors le D.T. de f en a d'ordre k est le Polynome: \\(\sum_{i = 0}^{k} \frac{\partial ^i f(a)}{i!} * (x - a)^i\\)
+
+- Si \\(f: I \to \mathbb{R} \quad I \text { un interval } \quad a \in I \text{ sauf son bord } \quad k \in \mathbb{N} \\) et f est k + 1 fois dérivable en I
+    - Alors \\(\forall x \in I \quad \exists \xi \in [a, x] \qquad f(x) = \sum_{i = 0}^{k} \frac{\partial ^i f(a)}{i!} * (x - a)^i + \underbrace{\frac{\partial k+1 f(\xi )}{(k+1) !} * (x - a)^{k+1}}\_{o((x-a)^k)}\\) 

src/math/disc/graph.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+# Initiation à la théorie des graphe
+
+- Un **Graphe non-orienté**, noté \\(G = (S, A)\\), est la donnée d'un ensemble de sommets (noté S) et d'un ensemble d'arêtes (noté A).
+    - Une arête est une paire des sommets
+- Un **Graphe orienté**, noté \\(G = (S, F)\\), est la donnée d'un ensemble de sommets (noté S) et d'un ensemble de flèches (noté F).
+    - Une flèche est un couple des sommets.

src/math/disc/index.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Math Discrète

src/math/disc/induction.md

@@ -0,0 +1,19 @@
+# Preuve par induction
+
+Le but est de prouver les propriètés du type: 
+\\[
+    \forall n \in \mathbb{N} \quad P(n)
+\\]
+ 
+
+## Induction Faible
+
+1) Cas de base: \\( P(0) \\) 
+2) Cas général: \\( \forall n \in \mathbb{N} \quad P(n) \implies P(n+1) \\) 
+3) Conclusion: \\( \forall n \in \mathbb{N} \quad P(n) \\) 
+
+## Induction Forte
+
+1) Cas de base: \\( P(0) ... P(n) \\) (à déterminer en fonction du cas général)
+2) Cas général: \\( \forall n \in \mathbb{N} \quad P(0) \land ... \land P(n) \implies P(n+1) \\) 
+3) Conclusion: \\( \forall n \in \mathbb{N} \quad P(n) \\) 

src/math/disc/prime.md

@@ -0,0 +1,89 @@
+# Les Nombres Premiers
+
+- Soient \\(a, b \in \mathbb{Z}\\) avec \\(a \neq 0\\)
+    - On dit que \\( a \\) **divise** \\( b \\) noté \\( a | b \\)
+        - ssi \\( \exists c \in \mathbb{Z} b=ac \\)
+        - On dit également que b est un multiple de a
+
+## Propositions de division
+
+- \\( \forall a, b, c, d \in \mathbb{Z}_ 0 \\) 
+    a) \\( 1|a \\) 
+    b) \\( a|0 \\) 
+    c) \\( a|a \\) 
+    d) \\( a|b \implies (\forall c \in \mathbb{Z}_ 0 \quad a|(b * c))\\) 
+    e) \\( (a|b \land b|c) \implies a|c\\) 
+    f) \\( (a|b \land a|c) \implies a | (b+c)\\) 
+    g) \\( (a|b \land a|c) \implies a | (b-c)\\) 
+    h) \\( (a|b \lor a|c) \implies a | (b * c)\\) 
+    h) \\( (a|b \land c|d) \implies (a * c) | (b * d)\\) 
+
+
+## Algorithme de division d'euclide
+
+- Soient \\( a \in \mathbb{Z} \text{ et } d\in \mathbb{N} _ 0 \\)
+    - \\( \exists q, r \in \mathbb{Z} \quad 0 \leq r < d \quad a = dq + r\\)
+\mathbb{R}
+
+- Soient \\( a, b \in \mathbb{Z} \quad n \in \mathbb{N} _ 0  \\)
+    - On dit que \\( a \\) est **congru** à \\( b \\) modulo n
+        - ssi \\( n \vert (a - b) \\)
+            - On note \\( a \equiv_n b \\) 
+
+## PGCD & PPCM
+
+- **PGCD** : Plus grand commun diviseur
+- **PPCM** : Plus petit commun multiple
+
+On peut calculer le pgcd de deux nombre avec
+\\[
+    PGCD(a,b) = PGCD(b, a \bmod b)
+\\]
+
+On remarque que
+\\[
+    a * b = PGCD(a,b) * PPCM(a, b)
+\\]
+
+Donc si on fait la décomposition en facteur premier d'un nombre, on peut trouver le pgcd et le ppcm comme suit:
+
+\\[
+    a = p_1* ...* p_n * q_1* ...* q_n \\\\
+    b = p_1* ...* p_n * \tilde{q}_ 1* ...* \tilde{q}_ n
+\\]
+\\[
+    PGCD(a,b) = p_1 * ... * p_n \\\\
+    PPCM(a,b) = p_1 * ... * p_n * q_1 * ... * q_n * \tilde{q}_ 1* ...* \tilde{q}_ n
+\\]
+
+
+
+
+## La Cryptographie
+
+Lorsqu'un cannal de communication n'est pas sur, il faut crypter les messages.
+Le message passe par une fonction pour crypter et une autre fonction pour décrypter. c'est un chiffrement asymetrique
+
+On se base sur les mathématiques modulaires pour crypter
+
+### Les nombres premiers
+
+- Soit \\( p \in \mathbb{N} \\) On dit que \\( P \\) est un **Nombre Premier**
+    - ssi il posséde exactement 2 diviseurs 
+        - Ces diviseurs sont \\( 1 \text{ et } P \\)  
+
+Un example d'algorithme naïf pour détecter un nombre premier est:
+\\[ \forall n \in \mathbb{N}  2 \leq P \leq \sqrt{101} \implies n | 101 \\] 
+On testerais ici par example \\( P | 101 \quad \forall P=2,3,5,7 \\) qui sont les racines < que 101
+
+#### Une infinitée de nombre premiers
+
+Nous pouvons prouver qu'il y a une infinitée de nombres premiers.
+Pour se faire nous fesons une preuve par l'absurde : Il y a un nombre **fini** de nombres premiers.
+mais si on prend \\( \displaystyle (\prod_1^n p_n)+1 \\) soit ce nombre est premier, soit il ne l'est pas.
+Dans le cas où il ne le serait pas, alors on peut le décomposer en nombres premiers. sauf que cette formule indique qu'aucuns nombre premiers précédent celui-ci n'est dans la liste des nombres premiers
+On aura donc une contradiction
+
+En Cryptographie, l'infinitee de ces nombre premiers et la difficultée de trouver les facteurs premiers d'un grand nombre en fait un bon candidat pour des clés asymétriques
+
+On peut utiliser également un [Algorithme d'exponensiation rapide](https://courses.cs.washington.edu/courses/cse311/21sp/resources/reference-modular-exponentiation.pdf)

src/math/disc/relations.md

@@ -0,0 +1,172 @@
+# Les Relations
+
+- Soient \\( A, B \\) deux ensembles
+    - Le **Produit cartésien** noté \\( A \times B \\) est l'ensemble
+        - \\( A \times B = \\{ (a,b) | a \in A \land b \in B\\} \\) 
+            - Donc \\( A \times B \neq B \times A \\) 
+    - Une **Relation Binaire** noté \\( R \\) est un sous-ensemble de
+        - \\( A \times B \quad (R \subseteq A \times B)\\) 
+        - Soient \\( a \in A \quad b \in B \\) 
+            - On dit que a est en **Relation Binaire** ssi \\( (a,b) \in R \\) 
+                - noté \\( aRb \\)
+            - Quand \\( A = B \quad R \subseteq A \times A \\) on parle de relation sur \\( A \\) 
+
+Par exemple:
+1) \\( A = B = \mathbb{R} \quad R = \mathbb{R}^2 \subseteq \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}  \\) 
+2) \\( A = \\{2, 3 ,4\\} \quad B = \\{4, 6, 8\\} \quad R = \\{(a,b) \in A \times B | b = 2a\\} \\) 
+3) \\( A = B = \\{ \text{ membre d'une famille } \\} \quad R = \\{ (a,b) | a \text{ est le père de }  B \\} \\) 
+4) \\( A = B = \mathbb{R} \quad R_{\leq} = \\{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 | a \leq b \\} \\) 
+
+## Représentation des relations (finies)
+
+Par exemple, pour:
+\\[
+    A = B = \\{ 1, 2, 3 \\} \quad R_{<} = \\{ (a,b) | a < b \\} 
+\\]
+
+1) Représentation Cartésienne
+2) Représentation Patate
+3) Représentation Matricielle
+
+## Types de relations
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\), On dit uqe R est 
+    - **Réfléxive** ssi \\( \forall a \in  A \quad aRa \\) 
+        - Que tout les éléments sont en relation avec eux même
+    - **transitive** ssi \\( \forall a, b, c \in A \quad (aRb \land bRc) \implies aRc \\) 
+        - Une forme de relation d'héritage.(eg: Si a est un ancetre de b et b est un ancetre de c alors a est un ancetre de c)
+    - **Symétrique** ssi \\( \forall a,b \in A \quad aRb \implies bRa  \\) 
+        - Toutes les relations sont toujours à double sens
+    - **Anti-Symétrique** ssi \\( \forall a, b \in A \quad (aRb \land bRa) \implies a=b  \\) 
+        - symètrique mais sans double flèches, seulement des flèches vers lui même
+
+**Attention**, anti-symétrique n'est pas la négation de symétrique
+
+## Relation inverse
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times B \\) 
+    - La **Relation Inverse** notée \\( R^{-1} = \\{ (b, a) \in B \times A | aRb) \\}  \\)
+
+La relation inverse retourne toute les fleches d'un graphe; Les relations sont inversées
+
+On a prouvé que \\( R = R^{-1} \implies R \text{ est symétrique }  \\) 
+
+## Composition de relations
+
+- Soient \\( R_1 \subseteq A \times B \quad R_2 \subseteq B \times C \\) 
+    - \\( R_2 \circ R_1 = \\{ (a,b) \in A \times C \mid \exists b \in B \quad  (a,b) \in R_1 \land (b,c) \in R_2 \\}\\) 
+
+Dans ce cas nous devons faire attention à l'ensemble de départ et d'arrivée
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) 
+    - \\( R^2 = R \circ R \quad R^n = R \circ ... \circ R \\) 
+        - R est Transitive ssi \\( R^2 \subseteq R \iff \forall n \in \mathbb{N}_ 0 R^n \subset R  \\) 
+
+Nous pouvons alors utiliser les matrice et faire un produit matriciel.
+On place 1 dans la matrice lorsque les éléments n et m sont en relation et 0 lorsqu'ils ne sont pas en relation
+- + équivaut à un ou
+- * équiavaut à un et
+Ces matrices peuvent nous aider à comprendre mieux ce qu'il se passe
+> On a un chemin qui va de 1 à 2 **et** de 2 à 3
+> Oui: Donc (1,3) est dans \\( R^2 \\) 
+
+## Les relations d'équivalences
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) 
+    - \\( R \\) est une **Relation d'équivalence** ssi
+         - R est **Réfléxive**, **Symétrique** et **Transitive**
+
+- Soit \\( R \subseteq A \times A \\) une relation d'équivalence
+    - Soit \\( a \in A \\) 
+        - La **Classe d'équivalence** de A (Pour R), notée \\( [a]_ R \\) 
+            - \\( [a]_ R = \\{ b \in A \mid a R b \\} \\) 
+    - **Le quotient de A par R**, noté \\( A/R \\) 
+        - \\( A/R = \\{ [a]_ R \mid a \in A \\} \\) 
+
+Par example, 
+- \\( A = \\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5\\}  \\) 
+    - \\( R = \\{ (a,b) \in A^2 \mid a \equiv_3 b \\}\\) est une relation d'équivalence
+        - \\( [0]_ R = \\{ b \in A \mid 0 \equiv_3 b \\} = \\{ 0, 3 \\} = [3] _R \\) 
+
+- Soit \\( R \subseteq A^2 \\) une relation d'équivalence
+    - Soient \\( a, b \in A \\). Les affirmations suivantes sont équivalence
+        1) \\( a R b \\) 
+        2) \\( [a]_ R = [b]_ R \\) 
+        3) \\( [a]_ R \cap [b]_ R \neq \emptyset \\) 
+
+- Soit \\( A \\) un ensemble.
+    - P **une Partition** de A
+        - \\( \mathcal{P} = \\{ A_ i \mid A_ i \subseteq A \\} \\) tq
+            1) \\(\cup_ {A_i \in \mathcal{P}} A_ i = A \\) 
+            2) \\( \forall A_ i, A_ j \in \mathcal{P} \quad A_ i \neq A_ j \implies A_ i \cap A_ j = \emptyset\\) 
+
+On a donc que \\( A/R \\) est une partition de A
+
+## Les relations d'ordre
+
+- Soit \\( A \\) un ensemble, \\( R \subseteq A \times A \\) 
+    - On dit que \\( R \\) est **une relation d'ordre** sur \\( A \\) ssi \\( R \\) est:
+        1) Réfléxive
+        2) Transitive
+        3) Anti-Symétrique
+    - On dit alors que \\( (A, R) \\) est un ensemble ordonné
+
+Exemple: \\( (a, =), (\mathbb{N} \leq), (\mathbb{R} \leq ), (\mathbb{R}, \geq ), (\mathbb{N}_ 0, \vert ), (2^X, \subseteq)\\) 
+
+- Soit \\( (A, R) \\)  un ensemble ordonné, Soit \\( a, b \in A \\)
+    - On dit que a et b sont **Comparables** (par rapport à R) ssi
+        - \\( a R b \lor b R a \\) 
+    - Sinon ils sont **Incomparable**
+
+- Soit \\( (A, R) \\) un ensemble ordonné.
+    - On dit que l'ensemble est **Totalement ordonné** ssi
+        - Il ne contient pas de paire d'incomparable pour R
+        - \\( \forall a,b \in A \quad aRb \lor bRa\\) 
+    
+### Diagramme de Hasse
+
+Il est évidement toujours possible de faire un graphe associé à la relation mais une forme de graphe particulièrement addaptée aux Relations Ordonnées
+sont les **Diagramme de Hasse**.
+
+![Diagramme de Hasse](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2e/Inclusion_ordering.svg "Diagramme de Hasse")
+Représentation de \\( 2^{\\{ x,y \\} } \\) 
+
+- Soit \\( (A, \preccurlyeq) \\). Soient \\( a, b \in A \\) 
+    - on dit que b est un successeur immédiat de a ssi
+        - \\( a \prec b \land \neg(\exists c \quad a \prec c \prec) \\) 
+
+Exemple:
+- \\( \mathbb{N} , \leq \\) 2 est succésseur immédiat de 1  
+    - \\( 1 < 2 \land \neg(\exists c \quad 1 < c < 2) \\) 
+
+- Soit \\( (A, \preccurlyeq) \\) 
+    - On dit que a est **maximum** ssi
+        - \\( \forall b \in A \quad b \preccurlyeq a \\) 
+    - On dit que a est **maximal** ssi
+        - \\( \neg(\exists b \in A \quad a \prec b)\\) 
+    - un maximum implique qu'il soit maximal mais pas l'inverse.  
+    - Il n'éxiste pas toujours un maximum ni un maximal
+
+- Soit \\( (A, \preccurlyeq) \\) un ensemble ordonné.
+    - Soit \\( X \subseteq A \quad a \in A \\) 
+        - On dit que a est **une borne supérieure** de x ssi
+            - \\( \forall x \in X \quad x \preccurlyeq a \\) 
+                - Une borne supérieur peut:
+                    1) Ne pas exister
+                    2) être infini
+                    3) comprendre des élements dans et hors de l'ens
+        - On dit que a est **supéremum** de X ssi
+            - a est le minimum des bornes supérieure de X
+    - On dit que cet ensemble est un **Treilli** ssi
+        - toute les paire d'éléments de A, \\( \\{ a, b \\} \subseteq A \\) possédent un infinum et un supremum
+    - C'est un ensemble **Bien-Ordonné** ssi
+        - \\( \forall X \subseteq A \quad  X \neq \emptyset \quad X \text{ posède un minimum } \\) 
+        - Ca nous permet par exemple de faire des preuves par inductions
+
+- Soit \\( (A, R) \\) un ensemble ordonné
+    - Soit \\( \preccurlyeq \subseteq A^2 \\) un ordre Total sur A.
+        - On dit que \\( \preccurlyeq \\) est **compatible** avec \\( R \\) ssi
+            - \\( \forall a, b \in A \quad aRb \implies a \preccurlyeq b \\) 
+
+Par exemple: Un tri topologique.
+A la manière de la construction d'une maison, On peut y aller dans un ordre qui est "compatible".

src/phys/elec/chap1.md

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+# Les Forces Electriques
+
+\\[ |F| = k\frac{|Qq|}{r^2}\\]
+\\[ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon _0} = 9*10^9\\]
+\\[ \varepsilon = 8,85 * 10^{-12} C^2/(Nm)^2\\]

src/phys/elec/index.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Electromagnétisme