finish cours, pas au propre

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@@ -12,6 +12,12 @@ Donc \\(a \in adh(dom(f) \backslash \\{a\\}) \cap dom(f) \\)
 
 Il faut qu'il existe \\((x\_n) \subseteq dom(f) \backslash \\{a\\} \text{ tq } x\_n \to a\\) (donc que a \\(\in dom(f)\\) ne soit pas un point isolé)
 
+- On dit que f est dérivable sur \\(A \subseteq dom(f)\\)
+    - Si \\(\forall a\in A \quad a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\) et f est dériable en a
+
+- si \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\) est dérivable en \\(a \in dom(f)\\)
+    - alors f est continue en a
+
 ## Notation
 
 Quand la dérivée est définie, on la note 
@@ -115,5 +121,59 @@ On peut dériver les 2 cotés de l'équation sur [-1;1] et nous pouvons en dédu
 
 - Si f est croissante et dérivable en \\(a \in dom(f) \cap adh(dom(f) \backslash \\{a\\})\\)
     - Alors \\(\partial f(a) \geq 0\\)
+- Si \\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\\) une application continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[
+    - Si \\(\forall x \in ]a,b[ \quad \partial f(x) \geq 0\\)
+        - alors f est croissante sur [a,b]
+
+- Soit \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a\in dom(f)\\)
+    - a est un point **min** à f (ou f atteint son min en a)
+        - Si \\(\forall x\in dom(f) \quad f(x) \geq f(a)\\)
+        - Si \\(\partial f(a) = 0\\) et f est décroissante sur \\(]-\infty , a[\\) et f est croissante sur \\([a, +\infty [\\)
+    - a est un point **max** à f (ou f atteint son min en a)
+        - Si \\(\forall x\in dom(f) \quad f(x) \leq f(a)\\)
 
 
+Ces points a ne sont pas forcément unique. on peut avoir plusieurs a minimum mais \\(f(a) = f'(a)\\)
+
+- Si a est un min/max de f et f est dérivable en a
+    - \\(\forall r > 0 \quad [a-r, a] \cap dom(f) \neq \emptyset \\) et \\(\forall r > 0 \quad [a, a+r] \cap dom(f) \neq \emptyset \\)
+        - alors \\(\partial f(a) = 0\\)
+
+- Si \\(\partial f(a) = 0 \text{ et } \partial ^2 f(a) > 0\\)
+    - alors \\(\exists r > 0 \quad \begin{align}& f \searrow \text{ sur } [a-r, a] \\\\ & f \nearrow \text{ sur } [a, a + r] \end{align}\\)
+        - d'où a est un point min de f sur [a-r, a+r]
+            - f est défini et dérivée 2 fois sur [a-e, a+e]\ (ou en général r < e)
+
+
+
+### Théorem de la moyenne
+
+Ce théorem décrit le fait que dans application continue, si nous prenons un interval [a,b] et regardons la pente entre a et b. nous pourons trouver un point qui à une valeur de dérivée égale à cette pente
+
+- Si \\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\\) une application continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ 
+    - alors il existe un \\(\xi \in ]a,b[\\) tq \\(f(b) - f(a) = \partial f(\xi ) (b-a)\\)
+\\[
+\partial y(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}
+\\]
+
+
+## Dérivés multiples
+
+Il est possible de dériver la dérivée d'une fonction et ce à plusieurs reprise
+
+- Si \\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\)
+    - On appelle la **fonction dérivée** la fonction \\(\partial f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad a \mapsto \partial f(a)\\)
+        - \\(dom(\partial f) = \\{a \in dom(f) \vert a \in adh(dom(f) \backslash \\{a\\}) \text{ et a est dérivée en a }\\}\\)
+        - si \\(a \in dom(\partial f) \cap adh(dom(\partial f) \backslash \\{a\\}\\) 
+            - alors, on peut regarder si \\(\partial(\partial f)(a)\\) existe.
+                - Si c'est le cas, on appelle ca la dérivée seconde de f et on la note \\(\partial ^2 f(a)\\)
+
+- soit \\(k \in \mathbb{N}\\) si f possède k-1 dérivé sur un interval autour de \\(a \in dom(f) \text{ et } \partial ^{k-1} f\\) est dérivable en a
+    - alors, on dit que la dérivée \\(k^e\\) dans f en a existe et on la note \\(\partial ^k f(a) = \partial (\partial ^{k-1} f) f(a)\\)
+
+Définition par récurence
+
+\\[
+    \partial ^0 f = f \\\\
+    \partial ^k = \partial(\partial ^{k-1} f)
+\\]